已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-2，0），且不等式2x≤f（x）≤12x2+2对一切实数x都成立．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对一切实数x∈[-1，1]，不等式f（x+1）<f（t2）恒成立

Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（-2，0），且不等式2x≤f（x）≤(1)/(2)x²+2对一切实数x都成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对一切实数x∈[-1，1]，不等式f（x+1）<f（(t)/(2)）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）根据二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（-2，0），可得4a-2b+c=0 ①，
∵不等式2x≤f（x）≤(1)/(2)x²+2对一切实数x都成立，∴当x=2时也成立，即4≤4a+2b+c≤4，
∴4a+2b+c=4 ②．
由①②求得 b=1，4a+c=2，∴f（x）=ax²+x+2-4a，∴2x≤ax²+x+2-4a≤(1)/(2)x²+2，
即

ax2-x+2-4a≥0

(a-(1)/(2))•x2+x-4a≤0

 恒成立，∴

a>0

△=1-4a(2-4a)≤0

a-(1)/(2)<0

△′=1-4(a-(1)/(2))•(-4a)≤0

．
求得a=(1)/(4)，∴c=2-4a=1，
∴f（x）=(1)/(4)x²+x+1．
（2）∵对一切实数x∈[-1，1]，不等式f（x+1）<f（(t)/(2)）恒成立，即 (1)/(4)（x+3）²<f（(t)/(2)）恒成立，
由于当x=1时，(1)/(4)（x+3）² 取得最大值为4，故有f（(t)/(2)）>4，即(1)/(4)•(t2)/(4)+(t)/(2)+1>4，即 （t+12）（t-4）>0，
求得t<-12，或t>4．