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如图,点O是△ABC内的一点,AB=AC,∠BAC=90°,∠BOC=120°,将△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADC,连结OD.(1)求证:△AOD是等腰直角三角形;(2)求证:∠DCO=30°(3)设∠AOB=α,那么
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如图,点O是△ABC内的一点,AB=AC,∠BAC=90°,∠BOC=120°,将△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADC,连结OD.
(1)求证:△AOD是等腰直角三角形;
(2)求证:∠DCO=30°
(3)设∠AOB=α,那么当α为多少度时,△COD是等腰三角形.
(1)求证:△AOD是等腰直角三角形;
(2)求证:∠DCO=30°
(3)设∠AOB=α,那么当α为多少度时,△COD是等腰三角形.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADC,
∴AD=AO,∠OAD=∠BAC=90°,
∴△AOD是等腰直角三角形;
(2)∵∠BOC=120°,
∴∠BOA+∠AOC=360°-120°=240°,
由旋转可得,∠AOB=∠ADC,
∴∠ADC+∠AOC=240°,
又∵△AOD是等腰直角三角形,
∴∠DOA=90°,
∴四边形AOCD中,∠DCO=360°-90°-240°=30°;
(3)由题可得,∠COD=360°-∠AOD-∠α-∠COB=360°-45°-∠α-120°=195°-∠α,
∠CDO=∠ADC-∠ADO=∠α-45°,
∠OCD=180°-∠COD-∠CDO=180°-(195°-∠α)-(∠α-45°)=30°,
①若∠COD=∠CDO,即195°-∠α=∠α-45°,
解得:∠α=120°;
②若∠COD=∠OCD,则195°-∠α=30°,
解得:∠α=165°;
③若∠CDO=∠OCD,即∠α-45°=30°,
解得:∠α=75°;
即当α为120°或165°或75°时,△COD是等腰三角形.
∴AD=AO,∠OAD=∠BAC=90°,
∴△AOD是等腰直角三角形;
(2)∵∠BOC=120°,
∴∠BOA+∠AOC=360°-120°=240°,
由旋转可得,∠AOB=∠ADC,
∴∠ADC+∠AOC=240°,
又∵△AOD是等腰直角三角形,
∴∠DOA=90°,
∴四边形AOCD中,∠DCO=360°-90°-240°=30°;
(3)由题可得,∠COD=360°-∠AOD-∠α-∠COB=360°-45°-∠α-120°=195°-∠α,
∠CDO=∠ADC-∠ADO=∠α-45°,
∠OCD=180°-∠COD-∠CDO=180°-(195°-∠α)-(∠α-45°)=30°,
①若∠COD=∠CDO,即195°-∠α=∠α-45°,
解得:∠α=120°;
②若∠COD=∠OCD,则195°-∠α=30°,
解得:∠α=165°;
③若∠CDO=∠OCD,即∠α-45°=30°,
解得:∠α=75°;
即当α为120°或165°或75°时,△COD是等腰三角形.
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