如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．（1）求证：AD1⊥平面A1DC；（2）求MN与平面ABCD所成的角．

Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AB上一点，N是A₁C的中点，MN⊥平面A₁DC．

（1）求证：AD₁⊥平面A₁DC；
（2）求MN与平面ABCD所成的角．

Answer 1

（1）证明：由ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，得CD⊥平面ADD₁A₁，
AD₁⊂平面ADD₁A₁，
∴CD⊥AD₁，
又AD₁⊥A₁D，且A₁D∩CD=D，
∴AD₁⊥平面A₁DC；
（2） ∵MN⊥平面A₁DC，
又由（1）知AD₁⊥平面A₁DC，
∴MN∥AD₁，
∴AD₁与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，
∵D₁D⊥平面ABCD，
∴∠D₁AD即为AD₁与平面ABCD所成的角，
由正方体可知∠D1AD=(π)/(4)，
∴MN与平面ABCD所成的角为(π)/(4)．