已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2）（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使

Question

已知：抛物线y=ax ² +bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2）
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得 ，
解得 ，
∴此抛物线的解析式为y= x ² + x﹣2．
（2）连接AC、BC．因为BC的长度一定，
所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小．
B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=﹣1的交点即为所求的点P．
设直线AC的表达式为y=kx+b，则 ，
解得 ，
∴此直线的表达式为y=﹣ x﹣2，把x=﹣1代入得y=﹣
∴P点的坐标为（﹣1，﹣ ）．
（3）S存在最大值，
理由：∵DE∥PC，即DE∥AC．
∴△OED∽△OAC． ，即 ，
∴OE=3﹣ m，OA=3，AE= m，
∴S=S _△OAC ﹣S _△OED ﹣S _△AEP ﹣S _△PCD= ×3×2﹣ ×（3﹣ m）×（2﹣m）﹣ × m× ﹣ ×m×1=﹣ m ² + m=﹣ （m﹣1）2+
∵
∴当m=1时，S最大= ．