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已知三个整数a、b、c的最大公约数是1,且满足条件1/a+1/b=1/c,求证：a+b,a-c和b-c都是完全平方数.
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已知三个整数a、b、c的最大公约数是1,且满足条件1/a+1/b=1/c,求证：a+b,a-c和b-c都是完全平方数.
▼优质解答
答案和解析
先说明下,我是在他们都是正整数的条件下证明的
(a+b)/ab=1/c,∴a+b=ab/c为整数,而a,b,c的最大公约数为1,所以ab与c的最大公约数也为1,所以c=1（a,b不能为1,若其中a或b为1,则有1+1/b=1/c>1,与c为整数矛盾）
然后又因为1/a=1/c-1/b=(b-c)/bc,∴bc/a=(b-c),∴b-c=b/a为整数,类似可证a/b为整数
所以a=b=2
所以a+b=4,a-c=1,b-c=1都为完全平方数
(a+b)/ab=1/c,∴a+b=ab/c为整数,而a,b,c的最大公约数为1,所以ab与c的最大公约数也为1,所以c=1（a,b不能为1,若其中a或b为1,则有1+1/b=1/c>1,与c为整数矛盾）
然后又因为1/a=1/c-1/b=(b-c)/bc,∴bc/a=(b-c),∴b-c=b/a为整数,类似可证a/b为整数
所以a=b=2
所以a+b=4,a-c=1,b-c=1都为完全平方数
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