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对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在两个点A,B,使得∠APB=60°,则称P为⊙C的关联点。已知点D(,),E(0,-2),F(,0)(1)当⊙O的半径为1时
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对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在两个点A,B,使得∠APB=60°,则称P为⊙C 的关联点。已知点D( , ),E(0,-2),F( ,0) (1)当⊙O的半径为1时, ①在点D,E,F中,⊙O的关联点是 ; ②过点F作直线交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线上的点P(m,n)是⊙O的关联点,求m的取值范围; (2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围。 |
▼优质解答
答案和解析
(1)①D,E②0≤m≤ (2)r≥1 |
(1)①D,E。 ②由题意可知,若P要刚好是⊙C的关联点,需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°。 由图2可知∠APB=60°,则∠CPB=30°, 连接BC,则 , ∴若P点为⊙C的关联点,则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r。 由(1),考虑临界点位置的P点, 如图3, 点P到原点的距离OP=2×1=2, 过点O作x轴的垂线OH,垂足为H, 则 。 ∴∠OGF=60°。 ∴OH=OGsin60°= , 。 ∴∠OPH=60°。可得点P 1 与点G重合。 过点P 2 作P2M⊥x轴于点M,可得∠P 2 OM=30°, ∴OM=OP2cos30°= 。 ∴若点P为⊙O的关联点,则P点必在线段P 1 P 2 上。 ∴0≤m≤ 。 (2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,欲使这个圆的半径最小,则这个圆的圆心应在线段EF的中点。 考虑临界情况,如图4, 即恰好E、F点为⊙K的关联时,则KF=2KN= EF=2,此时,r=1。 ∴若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,这个圆的半径r的取值范围为r≥1。 (1)①根据关联点的定义,得出E点是⊙O的关联点,进而得出F、D,与⊙O的关系: 如图1所示,过点E作⊙O的切线设切点为R, ∵⊙O的半径为1,∴RO=1。 ∵EO=2,∴∠OER=30°。 根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点,使得组成的角等于30°。 ∴E点是⊙O的关联点。 ∵D( , ),E(0,-2),F(2 ,0), ∴OF>EO,DO<EO。 ∴D点一定是⊙O的关联点,而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°。故在点D、E、F中,⊙O的关联点是D,E。 ②若P要刚好是⊙C的关联点,需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°,进而得出PC的长,进而得出点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r,再考虑临界点位置的P点,进而得出m的取值范围。 (2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,欲使这个圆的半径最小,则这个圆的圆心应在线段EF的中点;再考虑临界情况,即恰好E、F点为⊙K的关联时,则KF=2KN= EF=2,即可得出圆的半径r的取值范围。 |
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