已知函数f(x)=2aln(1+x)-x(a>0)(1)求f(x)的单调区间和极值第二问在下面,（2）求证：4lge+lge/2+lge/3……+lge/n>lg[e的（n的n次幂分之（n+1）的n次幂）次幂*（n+1）]（n为正整数）

Question

已知函数f(x)=2aln(1+x)-x(a>0) (1)求f(x)的单调区间和极值 第二问在下面,
（2）求证：4lge+lge/2+lge/3……+lge/n>lg[e的（n的n次幂分之（n+1）的n次幂）次幂*（n+1）]（n为正整数）

Answer 1

证：要证4lge+lge/2 +lge/3 ++lge/n ＞lge^((1+n)^n/n^n)*(n+1)
即证4+1/2+1/3……+1/n ＞lge^((1+n)^n/n^n)*(n+1)/lge
即证4+1/2 +1/3+……+1/n ＞lne^((1+n)^n/n^n)*(n+1)
即证1+1/2 +1/3+……+1/n+3＞ln(n+1)+(1+1/n )^n
令a= 1/2 ,由（1）可知f（x）在（0,+∞）上递减
故f（x）＜f（0）=0
即ln（1+x）＜x
令x=1/n (n∈N*)
故ln(1+1/n )=ln[(n+1)/n]=ln(n+1)-lnn＜1/n
累加得,ln(n+1)＜1+1/2 +1/3 ……+1/n
ln(1+1/n )＜1/n ,所以ln(1+1/n )^n＜1⇒(1+1/n )^n＜e＜3
故1+1/2 +1/3+……+1/n+3＞ln(n+1)+(1+1/n )^n
得证