在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，A，B，C都不是直角，且accosB+bccosA=a2-b2+8cosA（Ⅰ）若sinB=2sinC，求b，c的值；（Ⅱ）若a=6，求△ABC面积的最大值．

Question

在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，A，B，C都不是直角，且accosB+bccosA=a²-b²+8cosA
（Ⅰ）若sinB=2sinC，求b，c的值；
（Ⅱ）若a=√(6)，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（本题满分为12分）
（Ⅰ）∵ac(a2+c2-b2)/(2ac)+bc(b2+c2-a2)/(2bc)=a2-b2+8cosA，
∴b²+c²-a²=8cosA，--------（2分）
∴2bccosA=8cosA，
∵cosA≠0，
∴bc=4，------（4分）
由正弦定理得：b=2c，
∴b=2√(2)，c=√(2)．------（6分）
（Ⅱ）a²=b²+c²-2bccosA≥2bc-2bccosA，
即6≥8-8cosA，
∴cosA≥(1)/(4)，当且仅当b=c时取等号，----------（10分）
∴sinA≤(√(15))/(4)，
∴S=(1)/(2)bcsinA≤(√(15))/(2)，
∴S=(1)/(2)bcsinA≤(√(15))/(2)，
所以面积最大值为(√(15))/(2)------（12分）