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(2014•燕山区一模)阅读下面材料:如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平
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(2014•燕山区一模)阅读下面材料:
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.如图1,平行四边形
ABEF即为△ABC的“友好平行四边形”.
![](https://www.zaojiaoba.cn/zhidao/pic/item/d53f8794a4c27d1e9332807018d5ad6eddc43869.jpg)
请解决下列问题:
(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好矩形”;
(2)若△ABC是钝角三角形,则△ABC显然只有一个“友好矩形”,若△ABC是直角三角形,其“友好矩形”有______个;
(3)若△ABC是锐角三角形,且AB<AC<BC,如图2,请画出△ABC的所有“友好矩形”;指出其中周长最小的“友好矩形”并说明理由.
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.如图1,平行四边形
ABEF即为△ABC的“友好平行四边形”.
![](https://www.zaojiaoba.cn/zhidao/pic/item/d53f8794a4c27d1e9332807018d5ad6eddc43869.jpg)
请解决下列问题:
(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好矩形”;
(2)若△ABC是钝角三角形,则△ABC显然只有一个“友好矩形”,若△ABC是直角三角形,其“友好矩形”有______个;
(3)若△ABC是锐角三角形,且AB<AC<BC,如图2,请画出△ABC的所有“友好矩形”;指出其中周长最小的“友好矩形”并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)三角形的一边与矩形的一边重合,三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上.
(2)如图1,此时共有2个友好矩形,如图的矩形BCAF、矩形ABHK、矩形ABED,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5243fbf2b211931336b6160166380cd790238d8e.jpg)
故答案为:2.
(3)此时共有3个友好矩形,如图的BCDE、CAFG及ABHK,
其中的矩形ABHK的周长最小,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac345982b2b7d0a29d3ced2cc8ef76094a369a8e.jpg)
理由如下:
易知,这三个矩形的面积相等,令其为S,设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1,L2,L3,
△ABC的边长BC=a,CA=b,AB=c,则:
L1=
+2a,L2=
+2b,L3=
+2c,
∴L1-L2=(
+2a)-(
+2b)=-
(a-b)+2(a-b)=2(a-b)•
,
而ab>S,a>b,
∴L1-L2>0,即L1>L2,
同理可得,L2>L3,
∴L3最小,即矩形ABHK的周长最小.
(2)如图1,此时共有2个友好矩形,如图的矩形BCAF、矩形ABHK、矩形ABED,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5243fbf2b211931336b6160166380cd790238d8e.jpg)
故答案为:2.
(3)此时共有3个友好矩形,如图的BCDE、CAFG及ABHK,
其中的矩形ABHK的周长最小,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac345982b2b7d0a29d3ced2cc8ef76094a369a8e.jpg)
理由如下:
易知,这三个矩形的面积相等,令其为S,设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1,L2,L3,
△ABC的边长BC=a,CA=b,AB=c,则:
L1=
2S |
a |
2S |
b |
2S |
c |
∴L1-L2=(
2S |
a |
2S |
b |
2S |
ab |
ab−S |
ab |
而ab>S,a>b,
∴L1-L2>0,即L1>L2,
同理可得,L2>L3,
∴L3最小,即矩形ABHK的周长最小.
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