是否存在连续的五个整数,使得前四个数的平方和是第五个数的平方,要求用同余的方法证明.

Question

是否存在连续的五个整数,使得前四个数的平方和是第五个数的平方,要求用同余的方法证明.

Answer 1

设这5个连续自然数为(n-2)、(n-1)、n、(n+1)、(n+2),由题意需要解如下方程：
　　　　　　(n-2)²+(n-1)²+n²+(n+1)²＝(n+2)²　　　
移项　　　　(n-1)²+n²+(n+1)²＝(n+2)²－(n-2)²
化解后　　　3n²+2=8n
若n为奇数,则等号左右关于模8不同余,等式不成立.
若n为偶数,不妨设n＝2t,则有
　　　　　　12t²+2=16t
6t²+1=8t
此时,无论t为奇偶,等号左右关于模8不同余,等式不成立.
故,不存在连续5个自然数,使得前四个数的平方和是第五个数的平方.