已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（2-x）=f（x），且有最小值为1．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[-1，

Question

已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（2-x）=f（x），且有最小值为1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[-1，3]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意：图象过点（0，4），设二次函数解析式，f（x）=ax²+bx+4（a≠0）
对任意x满足f（2-x）=f（x），则有：对称轴x=(2-x+x)/(2)=1=-(b)/(2a)
∵最小值为1，∴a>0
当x=1时，f（x）取得最小值1；
所以：

-b=2a

a+b+4=1

解得：a=3，b=-6．
所以：f（x）的解析式为f（x）=3x²-6x+4．
（2）由（1）可知f（x）=3x²-6x+4．
对称轴x=1，开口向上，
f（x）在区间[3a，a+1]上不单调；
则有：

a+1>1

3a<1

3a<a+1

解得：0<a<(1)/(3)
所以实数a的取值范围（0，(1)/(3)）．
（3）当x在区间[-1，3]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，即3x²-6x+4≥2x+2m+1；
化简得：(3)/(2)x2-4x+(3)/(2)≥m．
∵x∈[-1，3]，
∴((3)/(2)x2-4x+(3)/(2))min=-(7)/(6)
故得实数m的取值范围（-∞，-(7)/(6)]．