已知数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+n+1,求通项an

Question

已知数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+n+1,求通项an

Answer 1

因为a(n+1)=2an+n+1,
所以两边同加n+1得：
a(n+1)+n+1=2(an+n+1)
这个形式还不能作为递推公式,我们可以发现如果两边同时再加上2则得到：
a(n+1)+n+3=2(an+n+2),
其中a1+1+2=4,我们便可以得到{an+n+2}是以4为首项2为公比的等比数列,那么则有：an+n+2=4*2^(n-1),
即an=4*2^(n-1)-n-2.
代入前几项进行验证,a1=1,a2=4,a3=11……,都与已知条件直接带入递推结果一致.
所以可以肯定an+n+2=4*2^(n-1),即为通项公式.