再问你一道题对自然数n,求n的数字的平方n1,再求n1的数字的平方和n2,如此继续下去,证明最后结果为1或4

Question

再问你一道题 对自然数n,求n的数字的平方n1,再求n1的数字的平方和n2,如此继续下去,证明最后结果为1或4

Answer 1

对于大于3位的数：
设这个数N有K位（K>=3）.那么,其各位数平方和M至多是K乘以9的平方(假设每一位都是9).即：M10的（K-1）次方
即:N>10^（K-1）
接下来,用归纳法证明对于K>3时,10^(K-1)>81K.
（不知道你学到归纳法没有,实际上这个式子也是显而易见的.指数增长快.）
（当然你也可以用函数的方法证明,用导数就可以了,高二的内容吧）
有了以上结论,我们就证明了：对于K(k>3)的自然数,其各位自然数平方和最多是个K-1位数.
这就好办了,因为这说明3位数以上的数最后一定会变成3位数.
于是我们只用证明：对3位数,2位数,1位数满足就可以了.
注意到999的各位数字平方和为243,于是在243到999的数的各位数字平方和必定小于243
换句话说只用验证243和小于243以下的数,
在200到243之间的数的平方和最多为多少呢?显而易见的,最多是239,这个数是94..
也就是说我们只用考虑1到199就可以了（因为94在其中）.
对199类似的考虑,可以缩小到小于163的数.
（接下来取107,为什么：对小于163的临近数中最大的是159,其平方和为107）.
对107到169,最大的平方和也会小于107.
也就是只用考虑小于等于107的.注意从100到107的平方和都是小于100的.所以最终全部转化到小于100的数.即两位数的讨论上.
对于两位数,类似14和41的情况是相同的.因此只用考虑1到55这55个数即可.
以后没办法更好地化简.所以只能对这55个数一一验证.可以发现都是满足的.
所以对一切数都满足开始的结论.