早教吧作业答案频道 -->数学-->
再问你一道题对自然数n,求n的数字的平方n1,再求n1的数字的平方和n2,如此继续下去,证明最后结果为1或4
题目详情
再问你一道题 对自然数n,求n的数字的平方n1,再求n1的数字的平方和n2,如此继续下去,证明最后结果为1或4
▼优质解答
答案和解析
对于大于3位的数:
设这个数N有K位(K>=3).那么,其各位数平方和M至多是K乘以9的平方(假设每一位都是9).即:M10的(K-1)次方
即:N>10^(K-1)
接下来,用归纳法证明对于K>3时,10^(K-1)>81K.
(不知道你学到归纳法没有,实际上这个式子也是显而易见的.指数增长快.)
(当然你也可以用函数的方法证明,用导数就可以了,高二的内容吧)
有了以上结论,我们就证明了:对于K(k>3)的自然数,其各位自然数平方和最多是个K-1位数.
这就好办了,因为这说明3位数以上的数最后一定会变成3位数.
于是我们只用证明:对3位数,2位数,1位数满足就可以了.
注意到999的各位数字平方和为243,于是在243到999的数的各位数字平方和必定小于243
换句话说只用验证243和小于243以下的数,
在200到243之间的数的平方和最多为多少呢?显而易见的,最多是239,这个数是94..
也就是说我们只用考虑1到199就可以了(因为94在其中).
对199类似的考虑,可以缩小到小于163的数.
(接下来取107,为什么:对小于163的临近数中最大的是159,其平方和为107).
对107到169,最大的平方和也会小于107.
也就是只用考虑小于等于107的.注意从100到107的平方和都是小于100的.所以最终全部转化到小于100的数.即两位数的讨论上.
对于两位数,类似14和41的情况是相同的.因此只用考虑1到55这55个数即可.
以后没办法更好地化简.所以只能对这55个数一一验证.可以发现都是满足的.
所以对一切数都满足开始的结论.
设这个数N有K位(K>=3).那么,其各位数平方和M至多是K乘以9的平方(假设每一位都是9).即:M10的(K-1)次方
即:N>10^(K-1)
接下来,用归纳法证明对于K>3时,10^(K-1)>81K.
(不知道你学到归纳法没有,实际上这个式子也是显而易见的.指数增长快.)
(当然你也可以用函数的方法证明,用导数就可以了,高二的内容吧)
有了以上结论,我们就证明了:对于K(k>3)的自然数,其各位自然数平方和最多是个K-1位数.
这就好办了,因为这说明3位数以上的数最后一定会变成3位数.
于是我们只用证明:对3位数,2位数,1位数满足就可以了.
注意到999的各位数字平方和为243,于是在243到999的数的各位数字平方和必定小于243
换句话说只用验证243和小于243以下的数,
在200到243之间的数的平方和最多为多少呢?显而易见的,最多是239,这个数是94..
也就是说我们只用考虑1到199就可以了(因为94在其中).
对199类似的考虑,可以缩小到小于163的数.
(接下来取107,为什么:对小于163的临近数中最大的是159,其平方和为107).
对107到169,最大的平方和也会小于107.
也就是只用考虑小于等于107的.注意从100到107的平方和都是小于100的.所以最终全部转化到小于100的数.即两位数的讨论上.
对于两位数,类似14和41的情况是相同的.因此只用考虑1到55这55个数即可.
以后没办法更好地化简.所以只能对这55个数一一验证.可以发现都是满足的.
所以对一切数都满足开始的结论.
看了 再问你一道题对自然数n,求n...的网友还看了以下:
魔方复原最后一步就是先对顶层的十字,然后十字和底下的颜色再对上,就是把棱块对好,然后换角块的位置和 2020-05-17 …
如果你要查"广作部首的字该用……法先……然……再……最后…… 2020-06-13 …
聊天时说:富二代,仗势欺人,说这是社会的诟病,这“诟病”中的“诟”和“病”分别是代表什么意思?再按 2020-06-16 …
在河湾处M点有一个观察站,观察员要从M点出发,先到AB岸,再到CD岸然后返回M点.画出该船应该走的 2020-06-19 …
新唐书(孟浩然传)求解释也就是优质课堂课时讲练测语文七年级下册(云南教育出版社)第10的文言文翻译 2020-06-29 …
欣然,泰然,必然,显然,安然,依然,毅然,果然,恍然,居然,用这些字填空,料事如神为(),仍旧如故 2020-07-12 …
我愿做一颗流星,消逝在天空,虽然再现的只是几秒钟的时间,但如果有你的欣赏、许愿,便也足够.恒星虽然 2020-07-12 …
在袁枚《随园诗话》卷五中,啖少许a)以下的字请问怎注译?1)“已而果然.再服二剂而病起”中的“已而” 2020-11-03 …
怎么补充句子(注意带点字)带点字:①果然她果然考了100分,()②居然她居然考了100分,()③虽然 2020-11-07 …
先在上面括号里填字,组成成语,再组成一句话,然后猜字()()()()()()()()投所下面立所笔面 2021-01-04 …