如图，AB是O的直径，AD是O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．（1）求证：CE是O的切线；（2）若AE=1，CE=2，求O的半径．

Question

如图，AB是 O的直径，AD是 O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交 O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．

（1）求证：CE是 O的切线；
（2）若AE=1，CE=2，求 O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接CO，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC∥FD，
∵CE⊥DF，
∴OC⊥CE，
∴CE是 O的切线；

（2）证明：连接BC，
在Rt△ACE中，AC=√(AE2+EC2)=√(22+11)=√(5)，
∵AB是 O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCA=∠CEA，
∵∠CAE=∠CAB，
∴△ABC∽△ACE，
∴(CA)/(AB)=(AE)/(AC)，
∴(√(5))/(AB)=(1)/(√(5))，
∴AB=5，
∴AO=2.5，即 O的半径为2.5．