如图,已知抛物线y=x^2+bx+c经过A（-1,0）,B（0,-2）两点,顶点为D.（1）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数解析式；（2）①设(1)

Question

如图,已知抛物线y=x^2+bx+c经过A（-1,0）,B（0,-2）两点,顶点为D.
（1）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数解析式；
（2）①设(1)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1.顶点为D1,试求线段b1 d1与平移前后两条抛物线所围区域的面积
②在平移后的抛物线上是否存在点n,满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍,求N的坐标.B坐标中是-1和-2,

Answer 1

将 B(0,-2) 代入抛物线方程得 c=-2；再将 A(-1,0) 代入抛物线方程求得 b=-1,所以 y=x²-x-2；
（1）旋转后 B点落在 (-2,0),即为 C点坐标；
抛物线沿 y 轴平移,即向下移,对称轴 x=1/2 不变（=-b/2）,与 x 轴一个交点就是 C(-2,0),代入抛物线方程 y=x²-x+c,得 c=-6；故解析式为 y=x²-x-6；
（2）①题目表述有误,B1D1 只与平移后抛物线相交；
如是求 BB1、DD1 与抛物线围成的面积,可按下法；
顶点 D、D1 横坐标即 x=1/2,与 y 轴交点 B、B1 的横坐标是 0,两者横坐标差为 1/2（即曲边梯形的底长）；因为抛物线是沿 y 轴向下平移,横坐标相同的点平移后纵坐标相差都等于 -2-(-6)=-4,即曲边梯形（曲边矩形）的“高”是 4,面积等于 (1/2)*4=2；
② BB1=DD1 且相互平行,只要 N 点到 BB1 距离是其到 DD1 的距离的 2 倍就可；很容易找出 N 点横坐标应是 x=1,它到对称轴 DD1（x=1/2）的距离是 1/2,到 BB1（y轴）的距离是 1；
以 x=1 代入平移后的抛物线方程得 y=1²-1-6=-6,所以坐标为 N(1,-6)；