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已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是(0,83),点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度沿线段CB向点B移动,同时,点Q从点O开始以每秒3个单位长度
题目详情
已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是(0,8
),点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度沿线段CB向点B移动,同时,点Q从点O开始以每秒3个单位长度的速度沿射线OA方向移动,点P运动到点B时,两点停止运动.直线PQ交OB于点D,运动时间为t秒.
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(1)直接写出点A的坐标;
(2)求t为何值时,直线PQ与菱形ABCO的边互相垂直;
(3)如果将题中的条件变为点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度为每秒a(1≤a≤3)单位,设运动时间为t(0<t≤8),其它条件不变.当a为何值时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB相似?请给出你的结论,并加以证明.
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(1)直接写出点A的坐标;
(2)求t为何值时,直线PQ与菱形ABCO的边互相垂直;
(3)如果将题中的条件变为点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度为每秒a(1≤a≤3)单位,设运动时间为t(0<t≤8),其它条件不变.当a为何值时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB相似?请给出你的结论,并加以证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)连接AC交OB于点M,
∵∠AOC=60°,四边形ABCO是菱形,
∴AC垂直平分OB,OM=
OB=4
,∠AOM=30°,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_7fc25e8968462e365b86740d9c5aef11.jpg)
∴AM=4,
∴点D坐标为A(4,4
).
(2)①如图1中,当PQ⊥OA时,过C作CH⊥OA于H,
∵PQ∥CH,PC∥QH,
∴四边形PCHQ是平行四边形,
∵∠CHQ=90°,
∴四边形PCHQ是矩形,
∴PC=QH=t,OQ=3t,∠OCH=30°,OH=2t=
OC=4,
∴t=2.
②如图2中,当PQ⊥AB时,过P作PN∥AB交射线OA于N,
由菱形ABCO得,PN=AB=8,
∴OQ=3t,CP=t,∠PQN=30°,NQ=2t=16,
∴t=8,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_8c99ce47a2ae0d400769927b2fcc7324.jpg)
即当t=2,t=8时,直线PQ与菱形ABCO的边互相垂直.
(3)当a=1,a=3时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB相似,
①当a=1,△ODQ∽△OBA,
证明:由△ODQ∽△OBA,可得∠ODQ=∠OBA,此时PQ∥AB,
∴四边形PCOQ为平行四边形,
∴CP=OQ,即at=t,(0<t≤8)
∴a=1时,△ODQ∽△OBA,
②a=3时,△ODQ∽△OAB
当P与B重合时,D点也与B重合,此时t=8,
由△ODQ∽△OAB,得
=
,
∵OD=OB,
∴OB2=OA•OQ,
即(8
)2=8×8a,
∴a=3,
∴a=3,△ODQ∽△OAB.
∵∠AOC=60°,四边形ABCO是菱形,
∴AC垂直平分OB,OM=
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∴AM=4,
∴点D坐标为A(4,4
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(2)①如图1中,当PQ⊥OA时,过C作CH⊥OA于H,
∵PQ∥CH,PC∥QH,
∴四边形PCHQ是平行四边形,
∵∠CHQ=90°,
∴四边形PCHQ是矩形,
∴PC=QH=t,OQ=3t,∠OCH=30°,OH=2t=
1 |
2 |
∴t=2.
②如图2中,当PQ⊥AB时,过P作PN∥AB交射线OA于N,
由菱形ABCO得,PN=AB=8,
∴OQ=3t,CP=t,∠PQN=30°,NQ=2t=16,
∴t=8,
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即当t=2,t=8时,直线PQ与菱形ABCO的边互相垂直.
(3)当a=1,a=3时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB相似,
①当a=1,△ODQ∽△OBA,
证明:由△ODQ∽△OBA,可得∠ODQ=∠OBA,此时PQ∥AB,
∴四边形PCOQ为平行四边形,
∴CP=OQ,即at=t,(0<t≤8)
∴a=1时,△ODQ∽△OBA,
②a=3时,△ODQ∽△OAB
当P与B重合时,D点也与B重合,此时t=8,
由△ODQ∽△OAB,得
OD |
OA |
OQ |
OB |
∵OD=OB,
∴OB2=OA•OQ,
即(8
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∴a=3,
∴a=3,△ODQ∽△OAB.
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