以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M，N两点，如果|MF|=|MO|，求椭圆的离心率．

Question

以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M，N两点，如果|MF|=|MO|，求椭圆的离心率．

Answer 1

以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M，N两点，如果|MF|=|MO|，
所以：△MOF为等边三角形
∠OFM=60°
设OF=x，另一个焦点为N，
则：NF=2x，MF=x，
利用余弦定理：MN²=MF²+NF²-2MF•NFcos∠NFM
解得：MN=√(3)x，
利用椭圆的定义：|MN|+|MF|=2a=x+√(3)x，
所以椭圆的离心率为：(2c)/(2a)=(2x)/(x+√(3)x)=√(3)-1