如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，与直线AD交于点F．（1）求∠DCF；（2）若AF=9，DF=2，求EF的长．

Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，与直线AD交于点F．

（1）求∠DCF；
（2）若AF=9，DF=2，求EF的长．

Answer 1

（1）连接BF，在FE上截取FH=BF，连接BH，

∵AB=AC，AD是BC中线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABF和△ACF中，

AB=AC

∠BAD=∠CAD

AF=AF

，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴BF=CF，∠ACF=∠ABF，
∵AC=AB=AE，
∴∠ACF=∠AEF，
∴∠AEF=∠ABF，
∴A、E、B、F四点共圆，
∴∠BFE=∠EAB=60°，
∵FH=BF，
∴∠BFH=∠BHF=60°，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴BF=CF，
∴∠DCF=∠DBF，
∵∠DCF+∠DBF=∠BFH=60°，
∴∠DCF=30°；

（2）∵AD⊥BC，∠DCF=30°，DF=2，
∴CF=2DF=4，
∵由（1）知BF=CF，
∴BF=4，
∵BF=BH，∠BFH=60°，
∴△BFH为等边三角形，
∴BF=FH=BH=4，∠FBH=∠EBA=60°，
∴∠ABF=∠EBH=60°-∠ABH，
在△EBH和△ABF中，

EB=AB

∠EBH=∠ABF

HB=FB

，
∴△EBH≌△ABF（SAS），
∴EH=AF，
∵AF=9，
∴EH=9，
∴EF=EH+HF=9+4=13．