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已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn是数列{an}前n项的和,则2Sn+16an+3的最小值为.
题目详情
已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn是数列{an}前n项的和,则
的最小值为___.
2Sn+16 |
an+3 |
▼优质解答
答案和解析
因为a1,a3,a13成等比数列,所以a32=a1a13,
又a1=1,所以(1+2d)2=1×(1+12d),
解得d=2或d=0(舍去),
所以an=1+(n-1)×2=2n-1,Sn=
=n2,
则
=
=
=
=(n+1)+
-2≥2
-2=4,
当且仅当n+1=
时取等号,此时n=2,且
取到最小值4,
故答案为:4.
又a1=1,所以(1+2d)2=1×(1+12d),
解得d=2或d=0(舍去),
所以an=1+(n-1)×2=2n-1,Sn=
n(1+2n-1) |
2 |
则
2Sn+16 |
an+3 |
2n2+16 |
2n+2 |
n2+8 |
n+1 |
(n+1)2-2(n+1)+9 |
n+1 |
=(n+1)+
9 |
n+1 |
(n+1)×
|
当且仅当n+1=
9 |
n+1 |
2Sn+16 |
an+3 |
故答案为:4.
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