（2014•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=54x+m的图象与x轴交于A（-1，0），与y轴交于点C．以直线x=2为对称轴的抛物线C1：y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B

Question

（2014•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=(5)/(4)x+m的图象与x轴交于A（-1，0），与y轴交于点C．以直线x=2为对称轴的抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）的函数表达式．
（2）设点D（0，(25)/(12)），若F是抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C₁于M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）两点，试探究(1)/(M1F)+(1)/(M2F)是否为定值？请说明理由．
（3）将抛物线C₁作适当平移，得到抛物线C₂：y₂=-(1)/(4)（x-h）²，h＞1．若当1＜x≤m时，y₂≥-x恒成立，求m的最大值．

Answer 1

（1）∵一次函数y=(5)/(4)x+m的图象与x轴交于A（-1，0）
∴0=-(5)/(4)+m
∴m=(5)/(4)．
∴一次函数的解析式为y=(5)/(4)x+(5)/(4)．
∴点C的坐标为（0，(5)/(4)）．
∵y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、C两点且对称轴是x=2，
∴

a−b+c＝0

c＝(5)/(4)

−(b)/(2a)＝2

，解得

a＝−(1)/(4)

b＝1

c＝(5)/(4)

∴y=-(1)/(4)x²+x+(5)/(4)．
∴m的值为(5)/(4)，抛物线C₁的函数表达式为y=-(1)/(4)x²+x+(5)/(4)．

（2）要使△ADF的周长取得最小，只需AF+DF最小
连接BD交x=2于点F，因为点B与点A关于x=2对称，
根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AF+DF最小．
令y=-(1)/(4)

作业帮用户 2016-12-02