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已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，二面角B-AA1-C为，则AA1与底面ABC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．
题目详情
已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，二面角B-AA1-C为
，则AA1与底面ABC所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
，则AA1与底面ABC所成角的正弦值为（ ）A．
B．
C．
D．
▼优质解答
答案和解析
根据棱柱的体积等于底面积乘以高，等于直截面乘以侧棱长，可求A1到平面ABC的距离为h，从而可求AA1与底面ABC所成角的正弦值．
【解析】
设棱长为1，A1到平面ABC的距离为h
过B作BD⊥A1A，垂足为D，连接CD，则
，△BCD为棱柱的直截面
∵三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等
∴
∴
根据棱柱的体积等于底面积乘以高，等于直截面乘以侧棱长可得
∴
设AA1与底面ABC所成角为α，则sin
故选D．
【解析】设棱长为1，A1到平面ABC的距离为h
过B作BD⊥A1A，垂足为D，连接CD，则
，△BCD为棱柱的直截面∵三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等
∴
∴
根据棱柱的体积等于底面积乘以高，等于直截面乘以侧棱长可得
∴
设AA1与底面ABC所成角为α，则sin
故选D．
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