an^2-2Sn*an+1=0已知an^2-2snan+1=0.求数列{Sn}通项公式sn=根号n，求证：1/S1+1/S2+…+1/Sn>2(S(n+1)-1)

Question

an^2-2Sn*an+1=0
已知an^2-2snan+1=0.求数列{Sn}通项公式
sn=根号n，求证：1/S1+1/S2+…+1/Sn>2(S(n+1)-1)

Answer 1

an=Sn-S（n-1）,
an²-2Sn*an+1=0化为
[Sn-S（n-1）]²-2Sn*[Sn-S（n-1）]+1=0
S²(n-1)-S²n+1=0
S²n=S²(n-1)+1
所以S²n是以S²1为首项,1为公差的等差数列.这样可以求出Sn.最后要验证一下n=1时成立不成立.
令n=1,得a1²-2a1²+1=0,a1=±1.
您这是给了第二个题啊.
1/Sn=1/√n
这种题利用数学归纳法来证明.
当n=1时,原式化为1>2(√2-1),成立.
设当n=k时也成立,即1+1/√2+1/√3+...+1/√k>2(√(k+1)-1)
当n=k+1时,
1+1/√2+1/√3+...+1/√(k+1)-2(1/√(k+2)-1)
>2(√(k+1)-1)+1/√(k+1)-2(√(k+2)-1)
=2/√(k+1)+1/√(k+1)-2/√(k+2)
=[2k+3-2√(k²+3k+2)]/(√(k+1)
=[√(4k²+12k+9)-√(4k²+12k+8)]/(√(k+1)
>0 恒成立
故得证.