如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图

Question

如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

Answer 1

（1） ∵∠A=80°．
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P=180°-(1)/(2)（∠ABC+∠ACB）=180°-(1)/(2)×100°=130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB=(1)/(2)（∠MBC+∠NCB）
=(1)/(2)（360°-∠ABC-∠ACB）
=(1)/(2)（180°+∠A）
=90°+(1)/(2)∠A
∴∠Q=90°-(1)/(2)∠A；
（3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=(1)/(2)∠A；
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=(1)/(2)∠ABC+(1)/(2)∠MBC
=(1)/(2)（∠ABC+∠A+∠ACB）=90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，则90°-(1)/(2)∠A=∠A，解得∠A=60°；
④∠E=2∠Q，则(1)/(2)∠A=2（90°-(1)/(2)∠A），解得∠A=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．