如图，四边形ABCD中，∠ADC的角平分线DE与∠BCD的角平分线CA相交于E点，DE交BC于点F，连结AF，已知∠ACD=32°，∠CDE=58°．（1）求证：AD∥BC；（2）当AD=5，DE=3时，求CE的长度．

Question

如图，四边形ABCD中，∠ADC的角平分线DE与∠BCD的角平分线CA相交于E点，DE交BC于点F，连结AF，已知∠ACD=32°，∠CDE=58°．

（1）求证：AD∥BC；
（2）当AD=5，DE=3时，求CE的长度．

Answer 1

（1）∵DE平分∠ADC，CA平分∠BCD，
∴∠ADC=2∠CDE=116°，∠BCD=2∠ACD=64°
∵∠ADC+∠BCD=116°+64°=180°
∴AD∥BC；
（2）∵∠DCC=180°-∠ACD-∠CDE=90°，
∴DF⊥AC，
在△DAE和△DEC中

∠ADE=∠CDE

∠DEA=∠DEC

DE=DE

，
∴△DAE≌△DEC，
∴CE=AE，
在Rt△DEA中，AE=√(AD2-DE2)=4，
∴CE=4．