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如图,PA、PB是⊙O的两条切线,PEC是一条割线,D是AB与PC的交点,若PE=2,CD=1,求DE的长.
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如图,PA、PB是⊙O的两条切线,PEC是一条割线,D是AB与PC的交点,若PE=2,CD=1,求DE的长.
▼优质解答
答案和解析
连接PO交AB于H,由切线长定理可知,OP平分∠APB,而PA=PB,
∴PO⊥AB,
设DE=x,则PA2=PE•PC=2(x+3).
在Rt△APH中,AP2=AH2+PH2,即AH2+PH2=2(x+3)①,
在Rt△PHD中,PH2+DH2=(x+2)2②,
又AD•DB=ED•DC,而AD•DB=(AH-DH)(AH+DH)=AH2-DH2,
∴AH2-DH2=x•1③,
由①②③得(x+2)2+x=2(x+3),
解得DE=x=
.
∴PO⊥AB,
设DE=x,则PA2=PE•PC=2(x+3).
在Rt△APH中,AP2=AH2+PH2,即AH2+PH2=2(x+3)①,
在Rt△PHD中,PH2+DH2=(x+2)2②,
又AD•DB=ED•DC,而AD•DB=(AH-DH)(AH+DH)=AH2-DH2,
∴AH2-DH2=x•1③,
由①②③得(x+2)2+x=2(x+3),
解得DE=x=
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