比较定积分值大小∫e^-x^2cos^2x和∫e^-x^2cos^2x

Question

比较定积分值大小 ∫<0,π>e^-x^2cos^2x和∫e^-x^2cos^2x

Answer 1

∫[π,2π]e^(-x^2)(cosx)^2dx
u=x-π
=∫[0,π]e^(-(u+π)^2)cos(u+π)^2du
=∫[0,π]e^(-(u+π)^2 (cosu)^2du
=∫[0,π]e^(-(x+π)^2)(cosx)^2dx
∫[0,π]e^(-x^2)(cosx)^2dx 中 e^(-x^2)>e^(-(x+π)^2)
因此∫[0,π]e^(-x^2)(cosx)^2dx>∫[0,π]e^(-(x+π)^2)(cosx)^2dx=∫[π,2π]e^(-x^2)(cosx)^2dx