在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知c2=bccosA+cacosB+abcosC．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若AB•BC=-3，AB•AC=9，求角B的大小．

Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知c²=bccosA+cacosB+abcosC．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若

AB

•

BC

=-3，

AB

•

AC

=9，求角B的大小．

Answer 1

（Ⅰ）∵在△ABC中，c²=bccosA+cacosB+abcosC，
∴由余弦定理可得：2bccosA=b²+c²-a²，2cacosB=a²+c²-b²，2abcosC=a²+b²-c²，
∴2c²=（b²+c²-a²）+（a²+c²-b²）+（a²+b²-c²），
即a²+b²=c²，
∴△ABC为直角三角形；
（Ⅱ）∵

AB

•

BC

=-3，

AB

•

AC

=9，
即accos（π-B）=-accosB=-3，bccosA=9，
两式相除得：(acosB)/(bcosA)=(3)/(9)=(1)/(3)，又△ABC为直角三角形，C为直角；
∴cosB=cos（(π)/(2)-A）=sinA，由正弦定理可得：(acosB)/(bcosA)=(sinA•sinA)/(cosA•cosA)=(1)/(3)，A为锐角，
∴tanA=(√(3))/(3)，
∴A=(π)/(6)，B=(π)/(3)．