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(2014•四川)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)

题目详情
(2014•四川)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;
(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
∵f(x)=ex-ax2-bx-1,∴g(x)=f′(x)=ex-2ax-b,
又g′(x)=ex-2a,x∈[0,1],∴1≤ex≤e,
∴①当a≤
1
2
时,则2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0,
∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1-b;
②当
1
2
<a<
e
2
,则1<2a<e,
∴当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex-2a<0,当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex-2a>0,
∴函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,
g(x)min=g[ln(2a)]=2a-2aln(2a)-b;
③当a≥
e
2
时,则2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0,
∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e-2a-b,
综上:函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为gmin(x)=
1−b  (a≤
1
2
)
2a−2aln(2a)−b  (
1
2
<a<
e
2
)
e−2a−b  (a≥
e
2
)

(2)由f(1)=0,⇒e-a-b-1=0⇒b=e-a-1,又f(0)=0,
若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,
由(1)知当a≤
1
2
或a≥
e
2
时,函数g(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.
1
2
<a<
e
2
,则gmin(x)=2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)-e+1
令h(x)=
3
2
x−xlnx−e+1  (1<x<e)
h′(x)=
3
2
−(lnx+x•
1
x
)=
1
2
−lnx,∴h′(x)=
1
2
−lnx.由h′(x)=
1
2
−lnx>0⇒x<
作业帮用户 2016-11-27
问题解析
(1)求出f(x)的导数得g(x),再求出g(x)的导数,对它进行讨论,从而判断g(x)的单调性,求出g(x)的最小值;
(2)利用等价转换,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,所以g(x)在(0,1)上应有两个不同的零点.
名师点评
本题考点:
导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的零点.
考点点评:
本题考查了,利用导数求函数的单调区间,分类讨论思想,等价转换思想,函数的零点等知识点.是一道导数的综合题,难度较大.
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