扇形AOB的中心角为2θ，半径为r，在扇形AOB中作内切圆O1及与圆O1外切，与OA，OB相切的圆O2，问sinθ为何值时，圆O2的面积最大？最大值是多少？

Question

扇形AOB的中心角为2θ，半径为r，在扇形AOB中作内切圆O₁及与圆O₁外切，与OA，OB相切的圆O₂，问sinθ为何值时，圆O₂的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

设圆O₁及与圆O₂的半径分别为r₁，r₂，
则

(r−r1)sinθ＝r1

(r1+r2)cos((π)/(2)−θ)＝r1−r2

，得

r1＝(rsinθ)/(1+sinθ)

r2＝(r1(1−sinθ))/(1+sinθ)

，
∴r2＝(r1(1−sinθ))/(1+sinθ)＝(rsinθ(1−sinθ))/((1+sinθ)2)，
∵0＜2θ＜2π，∴0＜θ＜π，令t=sinθ+1（1＜t＜2），
r2＝(−t2+3t−2)/(t2)＝−2((1)/(t)−(3)/(4))2+(1)/(8)，当(1)/(t)＝(3)/(4)，即sinθ＝(1)/(3)时，
圆O₂的半径最大，圆O₂的面积最大，最大面积为(πr2)/(64)．