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在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2+2mx+n经过P(,5),A(0,2)两点.(1)求此抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为B,将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l,直线l与抛物线的对
题目详情
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2+2
mx+n经过P(
,5),A(0,2)两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为B,将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l,直线l与抛物线的对称轴交于C点,求直线l的解析式;
(3)在(2)的条件下,求到直线OB,OC,BC距离相等的点的坐标.
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(1)求此抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为B,将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l,直线l与抛物线的对称轴交于C点,求直线l的解析式;
(3)在(2)的条件下,求到直线OB,OC,BC距离相等的点的坐标.
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▼优质解答
答案和解析
(1)把P,A坐标代入抛物线解析式即可.
(2)先设出平移后的直线l的解析式,然后根据(1)的抛物线的解析式求出C点的坐标,然后将C点的坐标代入直线l中即可得出直线l的解析式.
(3)本题关键是找出所求点的位置,根据此点到直线OB、OC、BC的距离都相等,因此这类点应该有4个,均在△OBC的内角平分线上(△OBC外有3个,三条角平分线的交点是一个),可据此来求此点的坐标.
【解析】
(1)根据题意得
,
解得
,
所以抛物线的解析式为:
.
(2)由
得抛物线的顶点坐标为B(
,1),
依题意,可得C(
,-1),且直线过原点,
设直线的解析式为y=kx,则
,
解得
,
所以直线l的解析式为
.
(3)到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个,如图,
由勾股定理得OB=OC=BC=2,所以△OBC为等边三角形.
易证x轴所在的直线平分∠BOC,y轴是△OBC的一个外角的平分线,
作∠BCO的平分线,交x轴于M1点,交y轴于M2点,
作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线,交y轴于M3点,
反向延长线交x轴于M4点,可得点M1,M2,M3,M4就是到直线OB、OC、BC距离相等的点.
可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形,可求得:
①OM1=
=
×2=
,所以点M1的坐标为(
,0).
②点M2与点A重合,所以点M2的坐标为(0,2),
③点M3与点A关于x轴对称,所以点M3的坐标为(0,-2),
④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N,
M4N=
,且ON=M4N,
所以点M4的坐标为(
,0)
综合所述,到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为:
M1(
,0)、M2(0,2)、M3(0,-2)、M4(
,0).
(2)先设出平移后的直线l的解析式,然后根据(1)的抛物线的解析式求出C点的坐标,然后将C点的坐标代入直线l中即可得出直线l的解析式.
(3)本题关键是找出所求点的位置,根据此点到直线OB、OC、BC的距离都相等,因此这类点应该有4个,均在△OBC的内角平分线上(△OBC外有3个,三条角平分线的交点是一个),可据此来求此点的坐标.
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(1)根据题意得
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解得
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dbb44aed2e738bd42683f081a48b87d6267ff9e4.jpg)
所以抛物线的解析式为:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/29381f30e924b899099e3b886b061d950b7bf6e4.jpg)
(2)由
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0bd162d9f2d3572cba40de6c8f13632763d0c3e4.jpg)
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依题意,可得C(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c2fdfc039245d6888688f014a1c27d1ed31b24f3.jpg)
设直线的解析式为y=kx,则
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/91529822720e0cf313550c4b0f46f21fbf09aae4.jpg)
解得
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所以直线l的解析式为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d50735fae6cd7b89f6e678330a2442a7d8330ef3.jpg)
(3)到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个,如图,
由勾股定理得OB=OC=BC=2,所以△OBC为等边三角形.
易证x轴所在的直线平分∠BOC,y轴是△OBC的一个外角的平分线,
作∠BCO的平分线,交x轴于M1点,交y轴于M2点,
作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线,交y轴于M3点,
反向延长线交x轴于M4点,可得点M1,M2,M3,M4就是到直线OB、OC、BC距离相等的点.
可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形,可求得:
①OM1=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4afbfbedab64034f014780b6aac379310b551df3.jpg)
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②点M2与点A重合,所以点M2的坐标为(0,2),
③点M3与点A关于x轴对称,所以点M3的坐标为(0,-2),
④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N,
M4N=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b21c8701a18b87d6bec8e9af020828381e30fdfc.jpg)
所以点M4的坐标为(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9f2f070828381f307793cf19ac014c086f06f0fc.jpg)
综合所述,到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为:
M1(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8d5494eef01f3a293755977e9c25bc315d607ce4.jpg)
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