如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．求证：（1）∠PBC=∠CBD；（2）BC2=AB•BD．

Question

如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是 O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．求证：

（1）∠PBC=∠CBD；
（2）BC²=AB•BD．

Answer 1

证明：（1）连接OC，
∵PC与圆O相切，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵BD⊥PD，
∴∠BDP=90°，
∴∠OCP=∠PDB，
∴OC∥BD，
∴∠BCO=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠PBC=∠BCO，
∴∠PBC=∠CBD；
（2）连接AC，
∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∵∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴(BC)/(BD)=(AB)/(BC)，
则BC²=AB•BD．