已知O为坐标原点,A（0,2）B（4,6）,向量ＯＭ＝ｔ１ＯＡ＋ｔ２ＡＢ

Question

已知O为坐标原点,A（0,2）B（4,6）,向量ＯＭ＝ｔ１ＯＡ＋ｔ２ＡＢ

Answer 1

：（1） OM=t1 OA+t2 AB=t1（0,2）+t2（4,4）=（4t2,2t1+4t2）．
当点M在第二或第三象限时,等价于 4t2＜02t1+4t2≠0.,故所求的充要条件为t2＜0且t1+2t2≠0．
（2）证明：当t1=1时,由（1）知 OM=（4t2,4t2+2）．
∵ AB= OB- OA=（4,4）,AM= OM- OA=（4t2,4t2）=t2（4,4）=t2 AB,
∴不论t2为何实数,A、B、M三点共线．
（3）当t1=a2时,OM=（4t2,4t2+2a2）． 又∵ AB=（4,4）,OM⊥ AB,
∴4t2×4+（4t2+2a2）×4=0,∴t2=- 14a2,∴ OM=（-a2,a2）．又∵| AB|=4 2,
点M到直线AB：x-y+2=0的距离d= |-a2-a2+2|2= 2|a2-1|．
∵S△ABM=12,∴ 12| AB|��d= 12×4 2× 2|a2-1|=12,解得a=±2,
故所求a的值为±2．