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如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任意一点,连接AM,并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN,过N作NP⊥CD于点P,连接BP.求证:四边形BMNP是平行四边形.
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如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任意一点,连接AM,并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN,过N作NP⊥CD于点P,连接BP.求证:四边形BMNP是平行四边形.
▼优质解答
答案和解析
证明:过点N作NE⊥BC延长线于点E,
∵∠AMN=90°,
∴∠AMB+∠EMN=90°,
∵∠BAM+∠BMA=90°,
∴∠BAM=∠NME,
在△ABM和△MEN中,
,
∴△ABM≌△MEN(AAS),
∴AB=ME=BC,
则BM=EC,
∵PN∥BC,PC∥NE,
∴四边形PCEN是平行四边形,
∴PN=EC,
∴PN
BM,
∴四边形BMNP是平行四边形.
∵∠AMN=90°,
∴∠AMB+∠EMN=90°,
∵∠BAM+∠BMA=90°,
∴∠BAM=∠NME,
在△ABM和△MEN中,
|
∴△ABM≌△MEN(AAS),
∴AB=ME=BC,
则BM=EC,
∵PN∥BC,PC∥NE,
∴四边形PCEN是平行四边形,
∴PN=EC,
∴PN
∥ |
. |
∴四边形BMNP是平行四边形.
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