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(2013•日照一模)如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD.若动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点,其中AP=λAB+μAE,下列判断正确的是()A.满足λ+
题目详情
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0b7b02087bf40ad1189f5555542c11dfa9ecce09.jpg)
AP |
AB |
AE |
A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C.λ+μ的最大值为3
D.λ+μ的最小值不存在
▼优质解答
答案和解析
由题意,不妨设正方形的边长为1,建立如图所示的坐标系,
则B(1,0),E(-1,1),故
=(1,0),
=(-1,1),
所以
=λ
+μ
=(λ-μ,μ),
当λ=μ=1时,
=(0,1),此时点P与D重合,满足λ+μ=2,但P不是BC的中点,故A错误;
当λ=1,μ=0时,
=(1,0),此时点P与B重合,满足λ+μ=1,
当λ=
,μ=
时,
=(0,
),此时点P为AD的中点,满足λ+μ=1,
故满足λ+μ=1的点不唯一,故B错误;
当P∈AB时,有0≤λ-μ≤1,μ=0,可得0≤λ≤1,故有0≤λ+μ≤1,
当P∈BC时,有λ-μ=1,0≤μ≤1,所以0≤λ-1≤1,故1≤λ≤2,故1≤λ+μ≤3,
当P∈CD时,有0≤λ-μ≤1,μ=1,所以0≤λ-1≤1,故1≤λ≤2,故2≤λ+μ≤3,
当P∈AD时,有λ-μ=0,0≤μ≤1,所以0≤λ≤1,故0≤λ+μ≤2,
综上可得0≤λ+μ≤3,故C正确,D错误.
故选C
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a8ec8a13632762d075233609a3ec08fa513dc663.jpg)
则B(1,0),E(-1,1),故
AB |
AE |
所以
AP |
AB |
AE |
当λ=μ=1时,
AP |
当λ=1,μ=0时,
AP |
当λ=
1 |
2 |
1 |
2 |
AP |
1 |
2 |
故满足λ+μ=1的点不唯一,故B错误;
当P∈AB时,有0≤λ-μ≤1,μ=0,可得0≤λ≤1,故有0≤λ+μ≤1,
当P∈BC时,有λ-μ=1,0≤μ≤1,所以0≤λ-1≤1,故1≤λ≤2,故1≤λ+μ≤3,
当P∈CD时,有0≤λ-μ≤1,μ=1,所以0≤λ-1≤1,故1≤λ≤2,故2≤λ+μ≤3,
当P∈AD时,有λ-μ=0,0≤μ≤1,所以0≤λ≤1,故0≤λ+μ≤2,
综上可得0≤λ+μ≤3,故C正确,D错误.
故选C
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