如图1，抛物线y=ax2+bx-3与y轴于点，与x轴交于A、B两点，OB=3OA，∠ABC=45°（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，点M为y轴上一动点，MN与抛物线只有唯一公

Question

如图1，抛物线y=ax²+bx-3与y轴于点，与x轴交于A、B两点，OB=3OA，∠ABC=45°
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，点M为y轴上一动点，MN与抛物线只有唯一公共点N点，点G在x轴上，∠GNM=∠OMN，求证：直线NG必过一定点，并求此定点的坐标．

Answer 1

（1）由题意OC=OB=3，OA=1，
∴点A坐标（-1，0），点B坐标（3，0），
∴

a-b-3=0

9a+3b-3=0

解得

a=1

b=-2

，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3．

（2）如图2中，平移后的抛物线解析式为y=x²，

设点M坐标（0，b），直线MN解析式为y=kx+b，
由

y=x2

y=kx+b

消去y得到x²-kx-b=0，由题意△=0，
∴k²+4b=0，
b=-(k2)/(4)，
∴点M坐标（0，-(k2)/(4)），N（(k)/(2)，(k2)/(4)），
线段MN中点G坐标为（(k)/(4)，0），
设过点G垂直MN的直线的解析式为y=-(1)/(k)x+b′，把（(k)/(4)，0）代入得到b′=(1)/(4)，
∴该直线解析式为y=-(1)/(k)x+(1)/(4)，该直线与y轴交于点K（0，(1)/(4)），
连接KN，则有KM=KN，
∴∠KNM=∠KMO，∵∠GNM=∠OMN
∴点K在直线GN上，直线GN经过定点（0，(1)/(4)）．