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如图1,抛物线y=ax2+bx-3与y轴于点,与x轴交于A、B两点,OB=3OA,∠ABC=45°(1)求此抛物线的解析式;(2)如图2,平移此抛物线使其顶点为坐标原点,点M为y轴上一动点,MN与抛物线只有唯一公
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如图1,抛物线y=ax2+bx-3与y轴于点,与x轴交于A、B两点,OB=3OA,∠ABC=45°
(1)求此抛物线的解析式;
(2)如图2,平移此抛物线使其顶点为坐标原点,点M为y轴上一动点,MN与抛物线只有唯一公共点N点,点G在x轴上,∠GNM=∠OMN,求证:直线NG必过一定点,并求此定点的坐标.
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(1)求此抛物线的解析式;
(2)如图2,平移此抛物线使其顶点为坐标原点,点M为y轴上一动点,MN与抛物线只有唯一公共点N点,点G在x轴上,∠GNM=∠OMN,求证:直线NG必过一定点,并求此定点的坐标.
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▼优质解答
答案和解析
(1)由题意OC=OB=3,OA=1,
∴点A坐标(-1,0),点B坐标(3,0),
∴
解得
,
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3.
(2)如图2中,平移后的抛物线解析式为y=x2,
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设点M坐标(0,b),直线MN解析式为y=kx+b,
由
消去y得到x2-kx-b=0,由题意△=0,
∴k2+4b=0,
b=-
,
∴点M坐标(0,-
),N(
,
),
线段MN中点G坐标为(
,0),
设过点G垂直MN的直线的解析式为y=-
x+b′,把(
,0)代入得到b′=
,
∴该直线解析式为y=-
x+
,该直线与y轴交于点K(0,
),
连接KN,则有KM=KN,
∴∠KNM=∠KMO,∵∠GNM=∠OMN
∴点K在直线GN上,直线GN经过定点(0,
).
∴点A坐标(-1,0),点B坐标(3,0),
∴
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∴抛物线解析式为y=x2-2x-3.
(2)如图2中,平移后的抛物线解析式为y=x2,
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设点M坐标(0,b),直线MN解析式为y=kx+b,
由
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∴k2+4b=0,
b=-
k2 |
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∴点M坐标(0,-
k2 |
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2 |
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线段MN中点G坐标为(
k |
4 |
设过点G垂直MN的直线的解析式为y=-
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k |
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1 |
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∴该直线解析式为y=-
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k |
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连接KN,则有KM=KN,
∴∠KNM=∠KMO,∵∠GNM=∠OMN
∴点K在直线GN上,直线GN经过定点(0,
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