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某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b人,以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套,其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初

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某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b人,以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套,其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备,同时每年换掉x套的旧设备.
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套?
(2)依照(1)的更换速度,共需多少年能更换所有需要更换的旧设备?下列数据供计算时参考:
1.19≈2.36 1.00499≈1.04
1.110≈2.59 1.004910≈1.05
1.111≈2.85 1.004911≈1.06
▼优质解答
答案和解析
(1)10年后学生人数为b(1+4.9‰)10=1.05b.
又设今年起学校的合格实验设备为数列{an},则a1=1.1a-x,an+1=1.1an-x,(*)
令an+1+λ=1.1(an+λ),则an+1=1.1an+0.1λ,与(*)式比较知λ=-10x,
故数列{an-10x}是首项为1.1a-11x,公比为1.1的等比数列,
所以an-10x=(1.1a-11x)•1.1n-1,所以an=10x+(1.1a-11x)•1.1n-1
∴a10=10x+(1.1a-11x)•1.19≈2.6a-16x.
由题设得
2.6a−16x
1.05b
=2×
a
b
,解得x=
1
32
a.
即每年更换旧设备为
1
32
a套.
(2)全部更换旧设备需
1
2
a
32
=16年.
即按此速度全部更换旧设备需16年.