已知：如图，正方形ABCD的边长为6，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN．（1）求证：BM•DN=36；（2）求∠MCN的度数．

Question

已知：如图，正方形ABCD的边长为6，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN．   

（1）求证：BM•DN=36；    
（2）求∠MCN的度数．

Answer 1

（1）证明：∵BM，DN分别平分正方形的两个外角，
∴∠CDN=∠CBM=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD，∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°，
∴∠ADN=∠ABN=135°，
∵∠NAM=45°，
∠BAM+∠DAN=45°，∵∠BAM+∠AMB=45°，
∴∠DAN=∠AMB，
∴△ADN∽△MBA，
∴(AD)/(BM)=(DN)/(AB)，
∴BM•DN=AB•AD=36．
（2）∵BM•DN=BC•DC，
∴(BC)/(DN)=(BM)/(DC)，∵∠CBM=∠CDN，
∴△CBM∽△NDC，
∴∠DCN=∠BMC，
∵∠BCM+∠BMC=135°，
∴∠BCM+∠DCN=135°，
∴∠MCN=360°-∠BCD-∠BCM-∠DCN=135°．