已知O为坐标原点，双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（AO+AF）•OF=0，则双曲线的离心率e为（）A．2B．3C．2D．3

Question

已知O为坐标原点，双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（

AO

+

AF

）•

OF

=0，则双曲线的离心率e为（　　）

A．2
B．3
C．√(2)
D．√(3)

Answer 1

如图，设OF的中点为C，则

AO

+

AF

=2

AC

，
由题意得，(1)/(2)

AC

•

OF

=0，∴AC⊥OF，
∴AO=AF，
又c=OF，OA：y=(b)/(a)x，A的横坐标等于C的横坐标(c)/(2)，
所以A（(c)/(2)，(bc)/(2a)），且AO=(√(2))/(2)c，
AO²=(c2)/(4)+(b2c2)/(4a2)，所以a=b，
则双曲线的离心率e为(c)/(a)＝(√(a2+b2))/(a)=√(2)．
故选C．