如何找出1^2+2^2+3^2+4^2.+n^2的generalterm,generalterm的中文我不太清楚,就是一个公式吧就是如果S1=1^2=S2=1^2+2^2=5S3=1^2+2^2+3^2=14那么Sn=?研究了好久,虽然知道那个公式是什么了但是我需要中间的步

Question

如何找出1^2+2^2+3^2+4^2.+n^2的general term,general term的中文我不太清楚,就是一个公式吧
就是如果
S1= 1^2=
S2= 1^2+2^2= 5
S3= 1^2+2^2+3^2= 14
那么 Sn=?
研究了好久,虽然知道那个公式是什么了
但是我需要中间的步奏
请高手教教我中间的步奏

Answer 1

general term:通项
1^2+2^2+3^2.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
方法一：
证明：1^2+2^2+3^2+4^2+.n^2=?
利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
方法二：
用归纳法.
1）当n=1时,1^2=1*2*3/6=1,等式成立.
2）假设n=k时,1^2+2^2+3^2.+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立.
那么：
1^2+2^2+3^2.+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)/6*[k(2k+1)+6(k+1)]
=(k+1)/6*(k+2)(2k+3)
=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6
等式也成立.
3）因为n=1等式成立,所以
1^2+2^2+3^2.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
恒成立