求y''+4y=xe^2x的通解

Question

求y''+4y=xe^2x的通解

Answer 1

∵齐次方程y''+4y=0的特征方程是r^2+4=0,则r=±2i（复数根）
∴此齐次方程的通解是y=C1cos(2x)+C2sin(2x) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=(Ax+B)e^(2x)
代入原方程,化简得
8Axe^(2x)+(4A+8B)e^(2x)=xe^(2x)
==>8A=1,4A+8B=0
==>A=1/8,B=-1/16
∴y=(x/8-1/16)e^(2x)
故原方程的通解是y=C1cos(2x)+C2sin(2x)+(x/8-1/16)e^(2x).