如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8cm，圆环的圆心O距离地面的高度为10m，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处（1）试确定在时刻

Question

如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8cm，圆环的圆心O距离地面的高度为10m，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P₀处

（1）试确定在时刻t（min）时蚂蚁距离地面的高度h（m）
（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过14m？

Answer 1

（1）设在时刻t（min）时蚂蚁达到点P，由OP在t分钟内所转过的角为(2π)/(12)t=(π)/(6)t，
可知以Ox为始边，OP为终边的角为(π)/(6)t+(3)/(2)π，
则P点的纵坐标为8sin（(π)/(6)t+(3)/(2)π），
则h=8sin（(π)/(6)t+(3)/(2)π）+10=10-8cos(π)/(6)t，
∴h=10-8cos(π)/(6)t（t≥0）
（2）h=10-8cos(π)/(6)t≥14⇒cos(π)/(6)t≤-(1)/(2)
⇒(2)/(3)π+2kπ≤(π)/(6)t≤(4)/(3)π+2kπ（k∈Z）
因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故不妨令t∈[0，12]，
∴4≤t≤8
所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m．
故答案为：（1）h=10-8cos(π)/(6)t（t≥0）
         （2）4分钟．