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如图,抛物线y=-x2+4x+2的顶点为D,E(4,m)在抛物线上,点Q在x轴上,点P在抛物线上,当以D,E,P,Q为顶点的四边形是以DE为边的平行四边形时,求点P的坐标.
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如图,抛物线y=-x2+4x+2的顶点为D,E(4,m)在抛物线上,点Q在x轴上,点P在抛物线上,当以D,E,P,Q为顶点的四边形是以DE为边的平行四边形时,求点P的坐标.
▼优质解答
答案和解析
作EF∥x轴,DF⊥EF于F,
∵y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6,
∴顶点D的坐标(2,6),
∵E(4,m)在抛物线上,
∴m=-42+4×4+2=2,
∴E(4,2),
∴DF=6-2=4,EF=4-2=2,
∵点Q在x轴上,点P在抛物线上,以D,E,P,Q为顶点的四边形是以DE为边的平行四边形,
∴P的纵坐标为±4,
把y=4代入y=-x2+4x+2得,4=-x2+4x+2,
解得x=2±
;
把y=-4代入y=-x2+4x+2得,-4=-x2+4x+2,
解得x=2±
;
∴P的坐标为(2+
,4)或(2-
,4)或(2+
,-4)或(2-
,-4).
∵y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6,
∴顶点D的坐标(2,6),
∵E(4,m)在抛物线上,
∴m=-42+4×4+2=2,
∴E(4,2),
∴DF=6-2=4,EF=4-2=2,
∵点Q在x轴上,点P在抛物线上,以D,E,P,Q为顶点的四边形是以DE为边的平行四边形,
∴P的纵坐标为±4,
把y=4代入y=-x2+4x+2得,4=-x2+4x+2,
解得x=2±
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把y=-4代入y=-x2+4x+2得,-4=-x2+4x+2,
解得x=2±
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∴P的坐标为(2+
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