已知各项都是正数的等比数列{an}中，存在两项am，an(m，n∈N*)使得aman＝4a1，且a7=a6+2a5，则1m+4n的最小值是（）A.32B.43C.23D.34

Question

已知各项都是正数的等比数列{a_n}中，存在两项 am， an(m， n∈N*)使得√(aman)＝4a1，且a₇=a₆+2a₅，则(1)/(m)+(4)/(n)的最小值是（　　）
A. (3)/(2)
B. (4)/(3)
C. (2)/(3)
D. (3)/(4)

Answer 1

因为已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，
则有a₁q⁶=a₁q⁵+2a₁q⁴．
即：q²-q-2=0，解得：q=2，q=-1，又因为时正项等比数列故q=2．
∵存在两项 am， an(m， n∈N*)使得√(aman)=4a1，即a₁×√(2m-12n-1)=4a₁，∴m+n=6
则(1)/(m)+(4)/(n)=(1)/(6)（m+n）（(1)/(m)+(4)/(n)）=(1)/(6)[5+(n)/(m)+(4m)/(n)]≥(1)/(6)（5+2√((n)/(m)×(4m)/(n))）=(3)/(2)   （当且仅当(4m)/(n)=(n)/(m)时取等号）
∴(1)/(m)+(4)/(n)的最小值是(3)/(2)
故选 A