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如图.已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB于R,AB=7,BC=8,AC=9.(1)求BP、CQ、AR的长.(2)若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,
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如图.已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB于R,AB=7,BC=8,AC=9.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/023b5bb5c9ea15ce918a7bb8b5003af33a87b21f.jpg)
(1)求BP、CQ、AR的长.
(2)若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证:OE=OF.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/023b5bb5c9ea15ce918a7bb8b5003af33a87b21f.jpg)
(1)求BP、CQ、AR的长.
(2)若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证:OE=OF.
▼优质解答
答案和解析
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/14ce36d3d539b60090b39406ea50352ac65cb706.jpg)
连接AO,OB,OC,
∵OP⊥BC,OQ⊥AC,OR⊥AB,∠A、∠B的角平分线交于点O,
∴OR=OQ,OR=OP,
∴由勾股定理得:AR2=OA2-OR2,AQ2=AO2-OQ2,
∴AR=AQ,
同理BR=BP,CQ=CP,
即O在∠ACB角平分线上,
设BP=BR=x,CP=CQ=y,AQ=AR=z,
则
x=3,y=5,z=4,
∴BP=3,CQ=5,AR=4.
(2)![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c75c10385343fbf200513d92b37eca8065388f06.jpg)
过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,
∵O在∠A的平分线,
∴OM=ON,∠ANO=∠AMO=90°,
∵∠A=60°,
∴∠NOM=120°,
∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上,
∴∠EBC+∠FCB=
(∠ABC+∠ACB)=
×(180°-∠A)=60°,
∴∠FON=∠EOM,
在△FON和△EOM中
∴△FON≌△EOM,
∴OE=OF.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/14ce36d3d539b60090b39406ea50352ac65cb706.jpg)
连接AO,OB,OC,
∵OP⊥BC,OQ⊥AC,OR⊥AB,∠A、∠B的角平分线交于点O,
∴OR=OQ,OR=OP,
∴由勾股定理得:AR2=OA2-OR2,AQ2=AO2-OQ2,
∴AR=AQ,
同理BR=BP,CQ=CP,
即O在∠ACB角平分线上,
设BP=BR=x,CP=CQ=y,AQ=AR=z,
则
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x=3,y=5,z=4,
∴BP=3,CQ=5,AR=4.
(2)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c75c10385343fbf200513d92b37eca8065388f06.jpg)
过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,
∵O在∠A的平分线,
∴OM=ON,∠ANO=∠AMO=90°,
∵∠A=60°,
∴∠NOM=120°,
∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上,
∴∠EBC+∠FCB=
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∴∠FON=∠EOM,
在△FON和△EOM中
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∴△FON≌△EOM,
∴OE=OF.
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