数学问题：为什么对于一次或二次曲线切线方程都有换一半的规律?如：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1切线为xox/a^2+y0y/b^2=1抛物线：y^2=2px切线为y0y=2p(x+xo)/2(不是证明他们的切线是这个,是解释为什么这样）

Question

数学问题：为什么对于一次或二次曲线切线方程都有换一半的规律?
如：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1切线为xox/a^2+y0y/b^2=1
抛物线：y^2=2px切线为y0y=2p(x+xo)/2
(不是证明他们的切线是这个,是解释为什么这样）

Answer 1

作变换x=ax',y=by',椭圆转化为单位圆x'^2+y'^2=1,P(x0,y0)转化为P'(x0/a,y0/b),此题就变为求在单位圆x'^2+y'^2=1 上一点P'(x0/a,y0/b)的切线方程,易知是x0x'/a+y0y'/b=1.又因为x'=x/a,y'=y/b,所以原来椭圆的切线方程是x0x/a^2+y0y/b^2=1
Y²=2PX两边求导 2yy'=2p ∴ y‘=p/y
∴抛物线在点p处切线的斜率为p/y0.切线方程为 y-y0=p/y0 *(x-x0) 即y0y-y0²＝px-px0
又因为Y0²=2PX0 ∴yoy-2px0=px-px0 整理得y0y=p(x+x0）