依照Cantor集的作法,在[0,1]上构造一个正测度的完备集,使其不含任何内点

Question

依照Cantor集的作法,在[0,1]上构造一个正测度的完备集,使其不含任何内点

Answer 1

先在[0,1]上挖去一个长为1/4的开区间,在剩余的2个区间上各挖去长为1/16的开区间……第n步时,在剩余的2^(n-1)个区间上各挖去长为1/(4^n)的开区间.剩余的闭集E显然是一个完备集,且m(E) = 1 -m(CE).
根据E的作法,m(CE) = 1/4 + 2 * 1/16 +…+ 2^(n-1)/(4^n) = 1/2
故mE = 1/2,E为具有正测度的疏朗完备集