设随机变量ξ,η的联合分布是正方形G={（x,y)：1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,试求随机变量U=|ξ-η|的概率密度f(u).

Question

设随机变量ξ,η的联合分布是正方形G={（x,y)：1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,试求随机变量U=|ξ - η|
的概率密度f(u).

Answer 1

容易知道,设随机变量(ξ,η)的联合概率密度f(x,y)=1/9,   在G={（x,y)：1≤x≤3,1≤y≤3}上,

                                                                   f(x,y)=0,       在其它点. 

以下先求U的分布函数F(u).

F(u)=P{U<=u}=P{|ξ - η|<=u }.

易知,当u<0时,   F(u)=P{U<=u}=P{|ξ - η|<=u }=0,

      当u>=3时,   F(u)=P{U<=u}=P{|ξ - η|<=u }=1,

而当0<=u <3时,

F(u)=P{U<=u}=P{|ξ - η|<=u }=f(x,y)在G与区域{(x,y):|x-y|<u}的交集上的二重积分.

由于是均匀分布,故只用到计算面积.

F(u)=P{U<=u}=P{|ξ - η|<=u }=f(x,y)在G与区域{(x,y):|x-y|<u}的交集上的二重积分

   =(1/9)*{9-(3-u)^2}.

综合:

      当u<0时,         F(u)=0,

      当u>=3时,       F(u)=1,

     当0<=u <3时,   F(u)=(1/9)*{9-(3-u)^2}=1-(1/9)(3-u)^2.

求导数,得密度f(x,y):

     当0<=u<3时,    f(x,y)=(2/9)*(3-u)   

     其它(u<0 ,or u>=3)   f(x,y)= 0

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