作图与证明：如图，已知O和O上的一点A，请完成下列任务：（1）作O的内接正六边形ABCDEF；（2）连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．

Question

作图与证明：
如图，已知 O和 O上的一点A，请完成下列任务：

（1）作 O的内接正六边形ABCDEF；
（2）连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．

Answer 1

（1）如图1，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交 O于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，
则正六边形ABCDEF即为 O所求；

（2）四边形BCEF是矩形．
理由：如图2，连接OE，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=AF=DE=DC，FE=BC，
∴

AB

=

AF

=

DE

=

DC

，
∴

BF

=

CE

，
∴BF=CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠EOD=(360°)/(6)=60°，OE=OD，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE=30°，
∴∠CEF=∠DEF-∠CED=90°，
∴四边形BCEF是矩形．