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在△ABC中,∠ACB=90°.经过点B的直线l(l不与直线AB重合)与直线BC的夹角等于∠ABC,分别过点C、点A作直线l的垂线,垂足分别为点D、点E.(1)若∠ABC=45°,CD=1(如图),则AE的长为;
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在△ABC中,∠ACB=90°.经过点B的直线l(l不与直线AB重合)与直线BC的夹角等于∠ABC,分别过点C、点A作直线l的垂线,垂足分别为点D、点E.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a044ad345982b2b72fa4617032adcbef76099b4f.jpg)
(1)若∠ABC=45°,CD=1(如图),则AE的长为______;
(2)写出线段AE、CD之间的数量关系,并加以证明;
(3)若直线CE、AB交于点F,
=
,CD=4,求BD的长.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a044ad345982b2b72fa4617032adcbef76099b4f.jpg)
(1)若∠ABC=45°,CD=1(如图),则AE的长为______;
(2)写出线段AE、CD之间的数量关系,并加以证明;
(3)若直线CE、AB交于点F,
CF |
EF |
5 |
6 |
▼优质解答
答案和解析
(1)∵∠ABC=45°,
∴∠CBD=45°,
∵CD=1,
∴BC=
,
∵∠ACB=90°,∠ABC=45°,
AE=2.
(2)线段AE、CD之间的数量关系为AE=2CD.
证明:如图1,延长AC与直线l交于点G.
依题意,可得∠1=∠2.
∵∠ACB=90°,
∴∠3=∠4.
∴BA=BG.∴CA=CG.…(3分)
∵AE⊥l,CD⊥l,
∴CD∥AE.
∴△GCD∽△GAE.
∴
=
=
.
∴AE=2CD.
(3)当点F在线段AB上时,如图2,
过点C作CG∥l交AB于点H,交AE于点G.
∴∠2=∠HCB.
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠HCB.
∴CH=BH.
∵∠ACB=90°,
∴∠3+∠1=∠HCB+∠4=90°.
∴∠3=∠4.
∴CH=AH=BH.
∵CG∥l,
∴△FCH∽△FEB.
∴
=
=
.
设CH=5x,BE=6x,则AB=10x.
∴在△AEB中,∠AEB=90°,AE=8x.
由(2)得,AE=2CD.
∵CD=4,
∴AE=8.
∴x=1.
∴AB=10,BE=6,CH=5.
∵CG∥l,
∴△AGH∽△AEB.
∴
=
=
.
∴HG=3.…(5分)
∴CG=CH+HG=8.
∵CG∥l,CD∥AE,
∴四边形CDEG为平行四边形.
∴DE=CG=8.
∴BD=DE-BE=2.…(6分)
当点F在线段BA的延长线上时,如图3,
同理可得CH=5,GH=3,BE=6.
∴DE=CG=CH-HG=2.
∴BD=DE+BE=8.
∴BD=2或8.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0b7b02087bf40ad111765c52542c11dfa8eccef5.jpg)
∴∠CBD=45°,
∵CD=1,
∴BC=
2 |
∵∠ACB=90°,∠ABC=45°,
AE=2.
(2)线段AE、CD之间的数量关系为AE=2CD.
证明:如图1,延长AC与直线l交于点G.
依题意,可得∠1=∠2.
∵∠ACB=90°,
∴∠3=∠4.
∴BA=BG.∴CA=CG.…(3分)
∵AE⊥l,CD⊥l,
∴CD∥AE.
∴△GCD∽△GAE.
∴
CD |
AE |
GC |
GA |
1 |
2 |
∴AE=2CD.
(3)当点F在线段AB上时,如图2,
过点C作CG∥l交AB于点H,交AE于点G.
∴∠2=∠HCB.
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠HCB.
∴CH=BH.
∵∠ACB=90°,
∴∠3+∠1=∠HCB+∠4=90°.
∴∠3=∠4.
∴CH=AH=BH.
∵CG∥l,
∴△FCH∽△FEB.
∴
CF |
EF |
CH |
EB |
5 |
6 |
设CH=5x,BE=6x,则AB=10x.
∴在△AEB中,∠AEB=90°,AE=8x.
由(2)得,AE=2CD.
∵CD=4,
∴AE=8.
∴x=1.
∴AB=10,BE=6,CH=5.
∵CG∥l,
∴△AGH∽△AEB.
∴
HG |
BE |
AH |
AB |
1 |
2 |
∴HG=3.…(5分)
∴CG=CH+HG=8.
∵CG∥l,CD∥AE,
∴四边形CDEG为平行四边形.
∴DE=CG=8.
∴BD=DE-BE=2.…(6分)
当点F在线段BA的延长线上时,如图3,
同理可得CH=5,GH=3,BE=6.
∴DE=CG=CH-HG=2.
∴BD=DE+BE=8.
∴BD=2或8.
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