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如图,AB是圆O的弦,OA⊥OD,AB,OD相交于点C,且CD=BD.(1)判断BD与圆O的位置关系,并证明你的结论;(2)当OA=3,OC=1时,求线段BD的长.
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如图,AB是圆O的弦,OA⊥OD,AB,OD相交于点C,且CD=BD.
(1)判断BD与圆O的位置关系,并证明你的结论;
(2)当OA=3,OC=1时,求线段BD的长.
(1)判断BD与圆O的位置关系,并证明你的结论;
(2)当OA=3,OC=1时,求线段BD的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OB,
∵OA=OB,DC=DB,
∴∠A=∠ABO,∠DCB=∠DBC,
∵AO⊥OD,
∴∠AOC=90°,即∠A+∠ACO=90°,
∵∠ACO=∠DCB=∠DBC,
∴∠ABO+∠DBC=90°,即OB⊥BD,
则BD为圆O的切线;
(2) 设BD=x,则OD=x+1,而OB=OA=3,
在RT△OBD中,OB2+BD2=OD2,
即32+x2=(x+1)2,
解得x=4,
∴线段BD的长是4.
∵OA=OB,DC=DB,
∴∠A=∠ABO,∠DCB=∠DBC,
∵AO⊥OD,
∴∠AOC=90°,即∠A+∠ACO=90°,
∵∠ACO=∠DCB=∠DBC,
∴∠ABO+∠DBC=90°,即OB⊥BD,
则BD为圆O的切线;
(2) 设BD=x,则OD=x+1,而OB=OA=3,
在RT△OBD中,OB2+BD2=OD2,
即32+x2=(x+1)2,
解得x=4,
∴线段BD的长是4.
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